STUDI ETNOMATEMATIKA KRATON YOGYAKARTA

STUDI ETNOMATEMATIKA KRATON YOGYAKARTA

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Etnomatika

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Marsigit, M.A

 

Disusun oleh:

DAFID SLAMET SETIANA          (14703261004)

PROGRAM STUDI ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2015

STUDI ETNOMATEMATIKA KRATON YOGYAKARTA

(BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG)

A.    PENDAHULUAN

Keraton Ngayogyakarta Hadiningrat atau Keraton Yogyakarta  merupakan istana resmi Kesultanan Ngayogyakarta Hadiningrat yang berlokasi di Kota Yogyakarta, Daerah Istimewa Yogyakarta, Indonesia. Walaupun kesultanan tersebut secara resmi telah menjadi bagian Republik Indonesia pada tahun 1950, kompleks bangunan keraton ini masih berfungsi sebagai tempat tinggal sultan dan rumah tangga istananya yang masih menjalankan tradisi kesultanan hingga saat ini. Keraton ini kini juga merupakan salah satu objek wisata di Kota Yogyakarta. Sebagian kompleks keraton merupakan museum yang menyimpan berbagai koleksi milik kesultanan, termasuk berbagai pemberian dari raja-raja Eropa, replika pusaka keraton, dan gamelan. Dari segi bangunannya, keraton ini merupakan salah satu contoh arsitektur istana Jawa yang terbaik, memiliki balairung-balairung mewah dan lapangan serta paviliun yang luas (Witton, P., Elliott, M., 2003:217).

Secara fisik istana para Sultan Yogyakarta memiliki tujuh kompleks inti yaitu Siti Hinggil Ler (Balairung Utara), Kamandhungan Ler (Kamandhungan Utara), Sri Manganti, Kedhaton, Kamagangan, Kamandhungan Kidul (Kamandhungan Selatan), dan Siti Hinggil Kidul (Balairung Selatan). Selain itu Keraton Yogyakarta memiliki berbagai warisan budaya baik yang berbentuk upacara maupun benda-benda kuno dan bersejarah. Di sisi lain, Keraton Yogyakarta juga merupakan suatu lembaga adat lengkap dengan pemangku adatnya. Oleh karenanya tidaklah mengherankan jika nilai-nilai filosofi begitu pula mitologi menyelubungi Keraton Yogyakarta.

Dahulu bagian utama istana, dari utara keselatan, dimulai dari Gapura Gladhag di utara sampai di Plengkung Nirboyo di selatan. Kini, Bagian-bagian utama keraton Yogyakarta dari utara ke selatan adalah: Gapura Gladag-Pangurakan; Kompleks Alun-alun Ler (Lapangan Utara) dan Mesjid Gedhe (Masjid Raya Kerajaan); Kompleks Pagelaran, Kompleks Siti Hinggil Ler, Kompleks Kamandhungan Ler; Kompleks Sri Manganti; Kompleks Kedhaton; Kompleks Kamagangan; Kompleks Kamandhungan Kidul; Kompleks Siti Hinggil Kidul (sekarang disebut Sasana Hinggil); serta Alun-alun Kidul (Lapangan Selatan) dan Plengkung Nirbaya yang biasa disebut Plengkung Gadhing.

Bagian-bagian sebelah utara Kedhaton dengan sebelah selatannya boleh dikatakan simetris. Sebagian besar bagunan di utara Kompleks Kedhaton menghadap arah utara dan di sebelah selatan Kompleks Kedhaton menghadap ke selatan. Di daerah Kedhaton sendiri bangunan kebanyakan menghadap timur atau barat. Namun demikian ada bangunan yang menghadap ke arah yang lain.

Selain bagian-bagian utama yang berporos utara-selatan keraton juga memiliki bagian yang lain. Bagian tersebut antara lain adalah Kompleks Pracimosono, Kompleks Roto Wijayan, Kompleks Keraton Kilen, Kompleks Taman Sari, dan Kompleks Istana Putra Mahkota (mula-mula Sawojajar kemudian di Dalem Mangkubumen). Di sekeliling Keraton dan di dalamnya terdapat sistem pertahanan yang terdiri dari tembok/dinding Cepuri dan Baluwerti. Di luar dinding tersebut ada beberapa bangunan yang terkait dengan keraton antara lain Tugu Pal Putih, Gedhong Krapyak, nDalem Kepatihan (Istana Perdana Menteri), dan Pasar Beringharjo.

Secara umum tiap kompleks utama terdiri dari halaman yang ditutupi dengan pasir dari pantai selatan, bangunan utama serta pendamping, dan kadang ditanami pohon tertentu. Kompleks satu dengan yang lain dipisahkan oleh tembok yang cukup tinggi dan dihubungkan dengan Regol yang biasanya bergaya Semar Tinandu. Daun pintu terbuat dari kayu jati yang tebal. Di belakang atau di muka setiap gerbang biasanya terdapat dinding penyekat yang disebut Renteng atau Baturono. Pada regol tertentu penyekat ini terdapat ornamen yang khas.

Bangunan-bangunan Keraton Yogyakarta lebih terlihat bergaya arsitektur Jawa tradisional. Di beberapa bagian tertentu terlihat sentuhan dari budaya asing seperti Portugis, Belanda, bahkan Cina. Bangunan di tiap kompleks biasanya berbentuk/berkonstruksi Joglo atau derivasi/turunan konstruksinya. Joglo terbuka tanpa dinding disebut dengan Bangsal sedangkan joglo tertutup dinding dinamakan Gedhong (gedung). Selain itu ada bangunan yang berupa kanopi beratap bambu dan bertiang bambu yang disebut Tratag. Pada perkembangannya bangunan ini beratap seng dan bertiang besi.

Permukaan atap joglo berupa trapesium. Bahannya terbuat dari sirap, genting tanah, maupun seng dan biasanya berwarna merah atau kelabu. Atap tersebut ditopang oleh tiang utama yang di sebut dengan Soko Guru yang berada di tengah bangunan, serta tiang-tiang lainnya. Tiang-tiang bangunan biasanya berwarna hijau gelap atau hitam dengan ornamen berwarna kuning, hijau muda, merah, dan emas maupun yang lain. Untuk bagian bangunan lainnya yang terbuat dari kayu memiliki warna senada dengan warna pada tiang. Pada bangunan tertentu (misal Manguntur Tangkil) memiliki ornamen Putri Mirong, stilasi dari kaligrafi Allah, Muhammad, dan Alif Lam Mim Ra, di tengah tiangnya.

Untuk batu alas tiang, Ompak, berwarna hitam dipadu dengan ornamen berwarna emas. Warna putih mendominasi dinding bangunan maupun dinding pemisah kompleks. Lantai biasanya terbuat dari batu pualam putih atau dari ubin bermotif. Lantai dibuat lebih tinggi dari halaman berpasir. Pada bangunan tertentu memiliki lantai utama yang lebih tinggi. Pada bangunan tertentu dilengkapi dengan batu persegi yang disebut Selo Gilang tempat menempatkan singgasana Sultan.

Tiap-tiap bangunan memiliki kelas tergantung pada fungsinya termasuk kedekatannya dengan jabatan penggunanya. Kelas utama misalnya, bangunan yang dipergunakan oleh Sultan dalam kapasitas jabatannya, memiliki detail ornamen yang lebih rumit dan indah dibandingkan dengan kelas dibawahnya. Semakin rendah kelas bangunan maka ornamen semakin sederhana bahkan tidak memiliki ornamen sama sekali. Selain ornamen, kelas bangunan juga dapat dilihat dari bahan serta bentuk bagian atau keseluruhan dari bangunan itu sendiri.

Beberapa gambar bangunan Kraton Yogyakarta sebagai berikut:

NO	GAMBAR	KETERANGAN
1		Gedhong Kaca, Museum Hamengku Buwono IX Keraton Ngayogyakarta Hadiningrat
2		Koridor di Kedhaton dengan latar belakang Gedhong Jene dan Gedhong Purworetno
3		Bangsal Sri Manganti tempat pertunjukan tari dan seni karawitan gamelan di Kraton Yogyakarta.
4		Salah satu bangunan Tratag dalam kompleks keraton.
5		Tanah lapang, "Alun-alun Lor", di bagian utara kraton Yogyakarta dengan pohon Ringin Kurung-nya
6		Pagelaran Keraton Yogyakarta di depan kompleks keraton menghadap utara ke arah Alun-alun Lor
7		Bangsal Kencono, bagunan utama dalam kompleks Keraton Yogyakarta, di belakangnya terdapat nDalem Ageng Proboyakso.
8		Bangsal Manis terletak di selatan bangsal Kencana menghadap ke arah timur. Bangunan ini dipergunakan sebagai tempat perjamuan resmi kerajaan
9		Kolam Pemandian Umbul Binangun, Taman Sari, Kraton Yogyakarta
10		Museum Kraton Yogyakarta
11		Sasono Hinggil Dwi Abad di Alun-alun Selatan

Dalam Kurikulum 2013, pendidik diharapkan mampu menciptakan pembelajaran bermakna sehingga materi yang disampaikan tidak hanya lewat begitu saja tanpa ada kesan sama sekali. Salah satu langkah untuk menciptakan pembelajaran bermakna tersebut adalah dengan memanfaatkan budaya Indonesia sebagai sumber dalam pelaksanaan pembelajaran. Mengingat masih banyak generasi muda yang masih minim pengetahuan budayanya, pendekatan budaya dalam pembelajaran pun merupakan salah satu strategi untuk menciptakan pembelajaran bermakna sekaligus memberikan pengetahuan budaya kepada peserta didik. Salah satu budaya Indonesia yang dapat dikaji dari segi etnomatematika adalah Kraton Yogyakarta.

Bagian-bagian Kraton Yogyakarta banyak terkait dengan materi pembelajaran geometri. Keseluruhan bangunan dan benda-benda peninggalan sejarah merupakan objek geometri yang berbentuk bangun dimensi dua atau yang disebut bangun datar serta bangun tiga dimensi atau yang disebut dengan bangun ruang. Dalam kajian ini akan dibahas mengenai etnomatematika yang berhubungan dengan bangun datar dan bangun ruang, baik bangun ruang sisi datar maupun bangun datar sisi lengkung.

Adapun peta konsep kajian etnomatematika Kraton Yogyakarta yaitu sebagai berikut:

 

B.     BANGUN DATAR

Dalam Kurikulum 2013, materi bangun datar dipelajari pada mata pelajaran matematika SD kelas VI. Berikut akan diuraikan mengenai macam-macam bangun datar (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 65), sifat-sifat bangun datar (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 156-157), serta Luas dan Keliling bangun datar (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 168-171). Adapun macam-macam bangun datar yaitu:

1.      Persegi panjang

         

Persegi panjang adalah segiempat yang semua sudutnya siku-siku. Persegi panjang dapat dipandang sebagai jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku, dapat pula dipandang sebagai trapesium siku-siku sama kaki. 

Sisi KL = sisi MN → disebut panjang

Sisi KN = sisi LM → disebut lebar

Sudut K, L, M, dan N adalah sudut siku – siku.

Sifat-sifat persegi panjang:

a.       Semua sudutnya siku-siku

b.      Sepasang-sepasang sisinya sejajar dan sama panjang

c.       Kedua diagonalnya sama panjang

d.      Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang

Persegi panjang yang panjang dan lebarnya sama disebut juga persegi.

(Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 170)

2.      Persegi

             

Persegi adalah bangun datar yang mempunyai empat buah sisi yang sama panjang dan keempat sudutnya siku – siku.

 

Sisi PQ = QR = RS = SP (semua sisi sama panjang)

Sudut P, Q, R, dan S adalah sudut siku – siku.

Sifat-sifat persegi:

a.       Semua sudutnya siku-siku

b.      Semua sisinya sama panjang

c.       Sepasang-sepasang sisinya sejajar

d.      Kedua diagonalnya sama panjang

e.       Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang

f.       Kedua diagonalnya saling tegaklurus

g.      Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu

3.      Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang memiliki tiga buah sisi dan tiga buah sudut.

Sifat – sifat segitiga :

a.       Banyak sisi segitiga ABC ada 3 buah sisi yaitu AB, BC, dan CA.

b.      Banyak sudut segitiga ABC ada 3 buah yaitu sudut a, sudut b, sudut c.

Klasifikasi segitiga

1.       Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi 3, yaitu :

a.       Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang sama panjang, AB = panjang sisi AC.

b.      Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya  sama panjang, AB = BC = CA.

c.       Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang, PQ ≠ QR ≠ RP.

2.      Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibedakan menjadi 3, yaitu :

a.       Segitiga siku – siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya besarnya sama dengan 90^o.

b.       Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya besarnya < 90^o

c.        Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya besarnya > 90^o .

(Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 171)

4.      Jajar Genjang

        

Jajar genjang adalah sebuah bangun datar yang mempunyai sepasang sisi yang sejajar.

 

Sifat-sifat yang dimiliki oleh bangun datar jajaran genjang adalah sebagai berikut:

a.       Sudut-sudut yang saling berhadapan adalah sama besar.

b.      Sisi-sisi yang saling berhadap-hadapan adalah sama panjang serta sejajar.

c.       Sudut-sudut yang berdekatan bila ditotal berjumlah 180 derajat.

d.      Diagonal jajar genjang saling membagi dua sama panjang.

Jajargenjang yang semua sisinya sama panjang disebut juga belah ketupat.

Jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku disebut juga persegipanjang.

(Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 302)

5.      Trapesium

 

Sifat-sifat trapesium:

a.       Mempunyai tepat sepasang sisi yang sejajar, yaitu sisi alas dan sisi atas.

b.      Jumlah sudut alas dan sudut atas yang sepihak adalah 180.

Trapesium yang mempunyai sudut siku-siku disebut trapesium siku-siku.

Trapesium yang sisi-sisi tegaknya sama panjang dan kedua sudut alasnya sama besar disebut trapesium samakaki.

6.      Belah ketupat

  

Belah ketupat adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang. Belah ketupat merupakan layang-layang yang bersifat khusus, maka semua sifat layang-layang juga berlaku pada belahketupat. Belah ketupat merupakan jajargenjang, maka semua sifat jajargenjang juga berlaku pada belahketupat. Belah ketupat merupakan trapesium yang bersifat khusus, karena pada belah ketupat terdapat sepasang sisi yang sejajar meskipun secara khusus sepasang sisi yang lain juga sejajar, dan semua sisi sama panjang.

 

Sifat-sifat belah ketupat:

a.       Semua sisinya sama panjang

b.      Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

c.       Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180.

d.      Sepasang-sepasang sisinya sejajar

e.       Diagonal-diagonalnya saling tegakurus

f.       Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang

g.      Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu

7.      Layang-layang

Sifat layang-layang:

a.       Mempunyai sepasang-sepasang sisi yang berdampingan sama panjang

b.      Paling sedikit ada dua sudut yang sama besar

c.       Diagonal-diagonalnya saling tegaklurus.

Layang-layang yang semua sisinya samapanjang disebut belahketupat.

8.     

C

Lingkaran

       

Suatu segi-n dengan nilai n besar tak hingga dapat dipandang sebagai suatu lingkaran.

Lingkaran dapat dipandang sebagai kumpulan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

 

Unsur-unsur pada lingkaran antara lain:

- Jari-jari (radius) - Garis tengah (diameter) - Sudut pusat - Sudut keliling - Busur

- Talibusur - Apotema - Juring - tembereng

a.       Jari-jari (radius = r) adalah ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan titik pusat lingkaran itu.

b.      Garistengah (diameter = d) adalah ruasgaris yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran itu.

c.       Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut talibusur.

d.      Jadi diameter adalah talibusur yang melalui titik pusat lingkaran.

e.       Apotema adalah ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan titik tengah suatu talibusur pada lingkaran itu.

f.       Apotema dapat juga diartikan sebagai ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan talibusur dan tegaklurus terhadap talibusur itu.

g.      Juring lingkaran adalah bagian dari daerah lingkaran itu yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang menghubungkan salah satu ujung kedua jari-jari itu.

h.      Tembereng adalah bagian dari daerah lingkaran yang dibatasi oleh suatu busur dan talibusurnya.

(Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 304)

C.    BANGUN RUANG

Bangun ruang dibedakan menjadi bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung. Bangun ruang sisi datar dipelajari pada pada jenjang SMP kelas VIII sedangkan bangun ruang sisi lengkung dipelajari pada kelas IX. Berikut akan diuraikan mengenai macam-macam bangun ruang (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 64), sifat-sifat bangun ruang (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 151-153, 261), serta volume dan luas permukaan bangun ruang.

1.      Bangun Ruang Sisi Datar

a.       Kubus

 

Sifat-sifat kubus:

1)      Memiliki 6 bidang sisi yang berbentuk persegi (ABCD, ABFE, BCGF, DCGH, ADHE, EFGH)

2)      Memiliki 8 buah titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)

3)      Memiliki 12 rusuk yang sama panjang (AB, BC, DC, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH)

4)      Memiliki 4 diagonal ruang (garis EC, HB, GA, FD)

5)      Memiliki 12 diagonal bidang sisi (garis AF, BE, AC, BD, BG, CF, DG, CH, AH, DE)

6)      Memiliki 6 bidang diagonal (bidang ADGF, BCHE, EFCD, HGBA, BDHF, ACGE)

b.      Balok

 

Sifat-sifat balok:

1)      Balok diperoleh dari prisma tegak segiempat yang alasnya berbentuk persegi panjang

2)      Mempunyai 12 rusuk

3)      Mempunyai 6 bidang sisi berbentuk persegi panjang

4)      Mempunyai 8 titik sudut

5)      Memiliki 4 diagonal ruang

6)      Memiliki 12 diagonal bidang sisi

7)      Memiliki 6 bidang diagonal

    (Deboys, M. & Pitt, E., 1996: 294)

c.       Limas

Andaikan A adalah suatu bidang, R adalah suatu daerah poligon yang terletak pada bidang A, dan P adalah suatu titik yang tidak terletak pada bidang A. himpunan semua ruas garis yang menghubungkan P dengan setiap titik pada keliling R membentuk bangun yang disebut limas.

Unsur- unsur limas :

1)      Titik sudut

2)      Rusuk

3)      Bidang sisi

Ciri-ciri umum limas :

1)      Bidang atas berupa 1 titik puncak

2)      Bidang bawah berupa bangun datar poligon

3)      Bidang sisi tegak berupa segitiga.

4)      Limas segi-n mempunyai

a)      Titik sudut = n+1

b)      Bidang sisi = n+1

c)      Rusuk = 2n

2.      Bangun Ruang Sisi Lengkung

a.       Tabung

 

Tabung adalah bangun ruang yang bagian atas dan bagian bawahnya berbentuk lingkaran yang sama.

P = titik pusat lingkaran

r = radius atau jari-jari lingkaran

t = tinggi tabung

Sifat-sifat tabung:

1)      Mempunyai 3 sisi, yaitu sisi bawah, sisi atas dan bidang yang melengkung (selimut)

2)      Mempunyai 2 rusuk, yaitu rusuk lengkung berupa lingkaran pada bagian atas dan bawah.

3)      Tidak mempunyai titik sudut

b.      Kerucut

Sifat-sifat kerucut:

1)      Memiliki 2 sisi (sisi alas yang berbentuk lingkaran dan sisi selimut yang bentuknya lengkung).

2)      Memiliki 1 titik sudut (titik puncak atas)

3)      Mempunyai 1 rusuk, yaitu rusuk lengkung berupa lingkaran pada bagian bawah.

s = sisi miring

c.       Bola

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung/kulit bola.  AB = garis tengah bola, P = titik pusat bola.

Sifat-sifat bola:

1)      Mempunyai 1 sisi yaitu kulit bola.

2)      Tidak mempunyai rusuk

3)      Tidak mempunyai titik sudut

BAGAN BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG

NO	NAMA	CONTOH BENDA	MODEL BANGUN	SIFAT	LUAS, KELILING, VOLUME
BANGUN DATAR
1	Persegi Panjang			a.       Semua sudutnya siku-siku b.      Sepasang-sepasang sisinya sejajar dan sama panjang c.       Kedua diagonalnya sama panjang d.      Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
2	Persegi			a.    Keempat sudutnya siku-siku b.   Keempat sisinya sama panjang c.    Sepasang-sepasang sisinya sejajar d.   Kedua diagonalnya sama panjang e.    Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang f.    Kedua diagonalnya saling tegak lurus g.   Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu
3	Segitiga			a.   Banyak sisi segitiga ABC ada 3 buah sisi yaitu AB, BC, dan CA. b.   Banyak sudut segitiga ABC ada 3 buah yaitu sudut a, sudut b, sudut c.
4	Jajar Genjang			a.       Sudut-sudut yang saling berhadapan adalah sama besar. b.      Sisi-sisi yang saling berhadap-hadapan adalah sama panjang serta sejajar. c.       Sudut-sudut yang berdekatan bila ditotal berjumlah 180 derajat. d.      Diagonal jajar genjang saling membagi dua sama panjang.
5	Trapesium			a.       Mempunyai tepat sepasang sisi yang sejajar, yaitu sisi alas dan sisi atas. b.      Jumlah sudut alas dan sudut atas yang sepihak adalah 180.
6	Belah ketupat			a.       Semua sisinya sama panjang b.      Sudut-sudut yang berhadapan sama besar c.       Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180. d.      Sepasang-sepasang sisinya sejajar e.       Diagonal-diagonalnya saling tegakurus f.       Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang g.      Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu
7	Layang-layang			a.       Mempunyai sepasang-sepasang sisi yang berdampingan sama panjang b.      Paling sedikit ada dua sudut yang sama besar c.       Diagonal-diagonalnya saling tegaklurus.
8	Lingkaran			a.    Suatu segi-n dengan nilai n besar tak hingga dapat dipandang sebagai suatu lingkaran. b.   Lingkaran dapat dipandang sebagai kumpulan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
BANGUN RUANG
1	Kubus			a.   Memiliki 6 bidang sisi yang berbentuk persegi (ABCD, ABFE, BCGF, DCGH, ADHE, EFGH) b.  Memiliki 8 buah titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H) c.   Memiliki 12 rusuk yang sama panjang (AB, BC, DC, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH) d.  Memiliki 4 diagonal ruang (garis EC, HB, GA, FD) e.   Memiliki 12 diagonal bidang sisi (garis AF, BE, AC, BD, BG, CF, DG, CH, AH, DE) f.   Memiliki 6 bidang diagonal (bidang ADGF, BCHE, EFCD, HGBA, BDHF, ACGE)
2	Balok			a.    Balok diperoleh dari prisma tegak segiempat yang alasnya berbentuk persegi panjang b.    Mempunyai 12 rusuk c.    Mempunyai 6 bidang sisi berbentuk persegi panjang d.   Mempunyai 8 titik sudut e.    Memiliki 4 diagonal ruang f.     Memiliki 12 diagonal bidang sisi g.    Memiliki 6 bidang diagonal
3	Limas			a.       Bidang atas berupa 1 titik puncak b.      Bidang bawah berupa bangun datar poligon c.       Bidang sisi tegak berupa segitiga. d.      Limas segi-n mempunyai 1)      Titik sudut = n+1 2)      Bidang sisi = n+1 3)      Rusuk = 2n
4	Tabung			a.    Mempunyai 3 sisi, yaitu sisi bawah, sisi atas dan bidang yang melengkung (selimut) b.    Mempunyai 2 rusuk, yaitu rusuk lengkung berupa lingkaran pada bagian atas dan bawah. c.    Tidak mempunyai titik sudut
5	Kerucut			a.       Memiliki 2 sisi (sisi alas yang berbentuk lingkaran dan sisi selimut yang bentuknya lengkung). b.      Memiliki 1 titik sudut (titik puncak atas) c.       Mempunyai 1 rusuk, yaitu rusuk lengkung berupa lingkaran pada bagian bawah.	s = sisi miring
6	Bola			a.    Mempunyai 1 sisi yaitu kulit bola. b.   Tidak mempunyai rusuk c.    Tidak mempunyai titik sudut

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, dkk. (2004). Matematika SMP Jilid 2B Kelas VIII Semester 2. Jakarta: Erlangga.

Deboys, M. & Pitt, E. (1996). Lines of Development in Primary Mathematics. Northern Ireland: The Blackstaff Press.

Hadiatmadja, R. M. (no year). Keterangan-keterangan tentang Karaton Yogyakarta. Yogyakarta: Tepas Pariwisata Karaton Ngayogyakarta

Khafid, M., Suyati. (2008). Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Kelas VI Jilid 6B. Jakarta: Erlangga.

Soeratno, C., et. al. (2004). Kraton Yogyakarta:the history and cultural heritage (2nd print). Yogyakarta and Jakarta: Karaton Ngayogyakarta Hadiningrat and Indonesia Marketing Associations.

Sujatmiko, Ponco. (2005). Matematika Kelas IX SMP & MTs. Jakarta: Erlangga.

Witton, P., Elliott, M. (2003). Indonesia (7th ed.). Footscray: Lonely Planet Publications.

http://www.njogja.co.id/kota-yogyakarta/keraton-yogyakarta/

https://coretanpetualang.wordpress.com/petualangan-budaya/budaya-jawa/keraton-yogyakarta-istana-budaya-dan-keindahan-jawa/

https://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Volume_bangun_ruang

https://id.wikipedia.org/wiki/Keraton_Ngayogyakarta_Hadiningrat

https://khasdjogdja.wordpress.com/2007/10/05/bangunan-keraton-kasultanan-yogyakarta/

https://www.google.co.id/search?q=kraton+yogyakarta&biw=1366&bih=638&tbm=isch&imgil=1x0zYPzwI8c6SM%253A%253B6t40rAE6HEjCAM%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fwww.indonesia-tourism.com%25252Fyogyakarta%25252Fkeraton.html&source=iu&pf=m&fir=1x0zYPzwI8c6SM%253A%252C6t40rAE6HEjCAM%252C_&usg=__ITSjubKrJ_m5G1KrHdShcIkvdbI%3D#imgrc=1x0zYPzwI8c6SM%3A&usg=__ITSjubKrJ_m5G1KrHdShcIkvdbI%3D