ETNOMATEMATIKA PRANATAMANGSA

        PRANATA MANGSA

Pranata mangsa (bahasa Jawa pranåtåmångså, berarti "ketentuan musim") adalah semacam penanggalan yang dikaitkan dengan kegiatan usaha pertanian, khususnya untuk kepentingan bercocok tanam atau penangkapan ikan. Pranata mangsa berbasis peredaran matahari dan siklusnya (setahun) berumur 365 hari (atau 366 hari) serta memuat berbagai aspek fenologi dan gejala alam lainnya yang dimanfaatkan sebagai pedoman dalam kegiatan usaha tani maupun persiapan diri menghadapi bencana (kekeringan, wabah penyakit, serangan pengganggu tanaman, atau banjir) yang mungkin timbul pada waktu-waktu tertentu.

Pranata mangsa dalam versi pengetahuan yang dipegang petani atau nelayan diwariskan secara oral (dari mulut ke mulut). Selain itu, ia bersifat lokal dan temporal (dibatasi oleh tempat dan waktu) sehingga suatu perincian yang dibuat untuk suatu tempat tidak sepenuhnya berlaku untuk tempat lain. Petani, umpamanya, menggunakan pedoman pranata mangsa untuk menentukan awal masa tanam. Nelayan menggunakannya sebagai pedoman untuk melaut atau memprediksi jenis tangkapan.

Pranata mangsa dalam versi Kasunanan (sebagaimana dipertelakan pada bagian ini) berlaku untuk wilayah di antara Gunung Merapi dan Gunung Lawu. Setahun menurut penanggalan ini dibagi menjadi empat musim (mangsa) utama, yaitu musim kemarau atau ketigå (88 hari), musim pancaroba menjelang hujan atau labuh (95 hari), musim hujan atau dalam bahasa Jawa disebut rendheng (baca [rənd^həŋ ], 95 hari) , dan pancaroba akhir musim hujan atau marèng (IPA:[marɛŋ], 86 hari) .

Musim dapat dikaitkan pula dengan perilaku hewan, perkembangan tumbuhan, situasi alam sekitar, dan dalam praktik amat berkaitan dengan kultur agraris. Berdasarkan ciri-ciri ini setahun juga dapat dibagi menjadi empat musim utama dan dua musim "kecil": terang ("langit cerah", 82 hari), semplah ("penderitaan", 99 hari) dengan mangsa kecil paceklik pada 23 hari pertama, udan ("musim hujan", 86 hari), dan pangarep-arep ("penuh harap", 98/99 hari) dengan mangsa kecil panèn pada 23 hari terakhir.

Dalam pembagian yang lebih rinci, setahun dibagi menjadi 12 musim (mangsa) yang rentang waktunya lebih singkat namun dengan jangka waktu bervariasi. Tabel berikut ini menunjukkan pembagian formal menurut versi Kasunanan. Perlu diingat bahwa tuntunan ini berlaku di saat penanaman padi sawah hanya dimungkinkan sekali dalam setahun, diikuti oleh palawija atau padi gogo, dan kemudian lahan bera (tidak ditanam).

1.      Sejarah dan antropologi

Bentuk formal pranata mangsa diperkenalkan pada masa Sunan Pakubuwana VII (raja Surakarta) dan mulai dipakai sejak 22 Juni 1856, dimaksudkan sebagai pedoman bagi para petani pada masa itu. Perlu disadari bahwa penanaman padi pada waktu itu hanya berlangsung sekali setahun, diikuti oleh palawija atau padi gogo. Selain itu, pranata mangsa pada masa itu dimaksudkan sebagai petunjuk bagi pihak-pihak terkait untuk mempersiapkan diri menghadapi bencana alam, mengingat teknologi prakiraan cuaca belum dikenal. Pranata mangsa dalam bentuk "kumpulan pengetahuan" lisan tersebut hingga kini masih diterapkan oleh sekelompok orang dan sedikit banyak merupakan pengamatan terhadap gejala-gejala alam.

Terdapat petunjuk bahwa masyarakat Jawa, khususnya yang bermukim di wilayah sekitar Gunung Merapi, Gunung Merbabu, sampai Gunung Lawu, telah mengenal prinsip-prinsip pranata mangsa jauh sebelum kedatangan pengaruh dari India. Prinsip-prinsip ini berbasis peredaran matahari di langit dan peredaran rasi bintang Waluku (Orion). Di wilayah dengan tipe iklim Am menurut Koeppen ini, penduduknya menerapkan penanggalan berbasis peredaran matahari dan rasi bintang sebagai bagian dari keselarasan hidup mengikuti perubahan irama alam dalam setahun. Pengetahuan ini dapat diperkirakan telah diwariskan secara turun-temurun sejak periode Kerajaan Medang (Mataram Hindu) dari abad ke-9 sampai dengan periode Kesultanan Mataram pada abad ke-17 sebagai panduan dalam bidang pertanian, ekonomi, administrasi, dan pertahanan (kemiliteran).

Perubahan teknologi yang diterapkan di Jawa semenjak 1970-an, berupa paket intensifikasi pertanian seperti penggunaan pupuk kimia, kultivar berumur genjah (dapat dipanen pada umur 120 hari atau kurang, sebelumnya memakan waktu hingga 180 hari), meluasnya jaringan irigasi melalui berbagai bendungan atau bendung, dan terutama berkembang pesatnya teknik prakiraan cuaca telah menyebabkan pranata mangsa (dalam bentuk formal versi Kasunanan) kehilangan banyak relevansi. Isu perubahan iklim global yang semakin menguat semenjak 1990-an juga membuat pranata mangsa harus ditinjau kembali karena dianggap "tidak lagi dapat dibaca".

2.      Kosmografi dan klimatologi

Rasi Orion ("Waluku", bintang bajak) merupakan pedoman penting pada pranata mangsa. Pranata mangsa memiliki latar belakang kosmografi ("pengukuran posisi benda langit"), pengetahuan yang telah dikuasai oleh orang Austronesia sebagai pedoman untuk navigasi di laut serta berbagai kegiatan ritual kebudayaan. Karena peredaran matahari dalam setahun menyebabkan perubahan musim, pranata mangsa juga memiliki sejumlah penciri klimatologis.

Awal mangsa kasa (pertama) adalah 22 Juni, yaitu saat posisi matahari di langit berada pada Garis Balik Utara, sehingga bagi petani di wilayah di antara Merapi dan Lawu saat itu adalah saat bayangan terpanjang (empat pecak/kaki ke arah selatan). Pada saat yang sama, rasi bintang Waluku terbit pada waktu subuh (menjelang fajar). Dari sinilah keluar nama "waluku", karena kemunculan rasi Orion pada waktu subuh menjadi pertanda bagi petani untuk mengolah sawah/lahan menggunakan bajak (bahasa Jawa: waluku).

Panjang rentang waktu yang berbeda-beda di antara keempat mangsa pertama (dan empat mangsa terakhir, karena simetris) ditentukan dari perubahan panjang bayangan. Mangsa pertama berakhir di saat bayangan menjadi tiga pecak, dan mangsa karo (kedua) dimulai. Demikian selanjutnya, hingga mangsa keempat berakhir di saat bayangan tepat berada di kaki, di saat posisi matahari berada pada zenit untuk kawasan yang disebutkan sebelumnya (antara Merapi dan Lawu). Pergerakan garis edar matahari ke selatan mengakibatkan pemanjangan bayangan ke utara dan mencapai maksimum sepanjang dua pecak di saat posisi matahari berada pada Garis Balik Selatan (21/22 Desember), dan menandai berakhirnya mangsa kanem (ke-6). Selanjutnya proses berulang secara simetris untuk mangsa ke-7 hingga ke-12. Sebuah jam matahari di Gresik yang dibuat pada tahun 1776 secara eksplisit menunjukkan hal ini. Mangsa ke-7 ditandai dengan terbenamnya rasi Waluku pada waktu subuh. Beberapa rasi bintang, bintang, atau galaksi yang dijadikan rujukan bagi pranata mangsa adalah Waluku, Lumbung (Gubukpèncèng, Crux), Banyakangrem (Scorpius), Wuluh (Pleiades), Wulanjarngirim (alpha- dan beta-Centauri), serta Bimasakti.

Batas-batas eksak tanggal pada pranata mangsa versi Kasunanan merupakan modifikasi kecil terhadap pranata mangsa yang sudah dikenal sebelumnya yang didasarkan pada posisi benda-benda langit.

Secara klimatologi, pranata mangsa mengumpulkan informasi mengenai perubahan musim serta saat-saatnya yang berlaku untuk wilayah Nusantara yang dipengaruhi oleh angin muson, yang pada gilirannya juga dikendalikan arahnya oleh peredaran matahari. Awal musim penghujan dan kemarau serta berbagai pertanda fisiknya yang digambarkan pranata mangsa secara umum sejajar dengan hasil pengamatan klimatologi. Kelemahan pada pranata mangsa adalah bahwa ia tidak menggambarkan variasi yang mungkin muncul pada tahun-tahun tertentu (misalnya akibat munculnya gejala ENSO). Selain itu, terdapat sejumlah ketentuan pada pranata mangsa yang lebih banyak terkait dengan aspek horoskop, sehingga cenderung tidak logis.

3.      Kalender Pranatamangsa

Kalender Pranatamangsa dapat juga dipandang sebagai Kalender Orionik atau kalender yang menggunakan rasi bintang, karena kehadiran Orion yang menurut masyarakat agraris dipandang sebagai (Wa)luku/bajak lebih memegang peranan bagi masyarakat. Bagi petani di masa lampau, dengan memegang beras pada telapak tangan terbuka, kemudian mengarahkan tangan pada Luku pada rembang petang, maka ketika bulir-bulir beras jatuh dari tangan, itulah saat untuk memulai bercocok tanam.Praktek penggunaan kalender ini telah dilakukan semenjak sejarah Indonesia belum tercatat. Patokannya tidak hanya benda langit, tapi juga fenomena yang terjadi di alam: Musim tanaman, perilaku binatang, arah angin, kelembaban, curah hujan; dan kalender ini dipergunakan sebagai pedoman bertani, berdagang, merantau, berperang & pemerintahan. Baru di abad ke-19, kalender ini dibakukan sebagai sistem kalender oleh Sri Susuhunan Pakubuwono ke-VII , 22 Juni 1856, juga dengan memasukkan tahun Kabisat.

No.	Hamaning Mangsa	Waktu Mangsa	Umur Wastu	Wuntu
1.	Kasa (kartika)	22 Juni – 1 Agustus	41	41
2.	Karo (poso)	2 Agustus – 24 Agustus	23	23
3.	Katelu	25 Agustus – 17 September	24	24
4.	Kapat (sitra)	18 Sepetember – 12 Oktober	25	25
5.	Kalima (manggala)	13 Oktober – 8 November	27	27
6.	Kanem (naya)	9 November – 21 Desember	43	43
7.	Kapitu (palguna)	22 Desember – 2 Februari	43	43
8.	Kawolu (wasika)	3 Februari – 28 Februari	26	27
9.	Kasanga (jita)	1 Maret – 25 Maret	25	25
10.	Kasadasa (srawana)	26 Maret – 18 April	24	24
11.	Dhesta (pradawana)	19 April – 11 Mei	23	23
12.	Sadha (asuji)	12 Mei – 21 Juni	41	41
			365	366

1.      Kasa (Kartika) 

·         Mangsa utama : Ketiga - Terang

·         Rentang Waktu : 22 Juni – 1 Ags (41 hari)

·         Candra : Sesotya murcå ing embanan ("Intan jatuh dari wadahnya" > daun-daun berjatuhan)

·         Ciri - ciri : Daun-daun berguguran, kayu mengering; belalang masuk ke dalam tanah

·         Tuntunan Bagi Petani : Saatnya membakar jerami; mulai menanam palawija

2.      Karo (Pusa)

·         Mangsa utama : Ketiga - Paceklik

·         Rentang Waktu : 2 Ags – 24 Ags (23 hari)

·         Candra : Bantålå rengkå ("bumi merekah")

·         Ciri - ciri : Tanah mengering dan retak-retak, pohon randu dan mangga mulai berbunga

·         Tuntunan Bagi Petani : -

3.      Katelu (Manggasri)

·       Mangsa utama : Ketiga - Semplah

·       Rentang Waktu : 25 Ags – 18 Sept (24 hari)

·       Candra : Sutå manut ing båpå ("anak menurut bapaknya")

·       Ciri - ciri : Tanaman merambat menaiki lanjaran, rebung bambu bermunculan

·       Tuntunan Bagi Petani : Palawija mulai dipanen

4.      Kapat (Sitra)

·       Mangsa utama : Labuh - Semplah

·       Rentang Waktu : 19 Sept – 13 Okt (25 hari)

·       Candra : Waspå kumembeng jroning kalbu ("Air mata menggenang dalam kalbu" > mata air mulai menggenang)

·       Ciri - ciri : Mata air mulai terisi; kapuk randu mulai berbuah, burung-burung kecil mulai bersarang dan bertelur

·       Tuntunan Bagi Petani : Panen palawija; saat menggarap lahan untuk padi gaga

5.      Kalima (Manggakala)

·       Mangsa utama : Labuh - Semplah

·       Rentang Waktu : 14 Okt – 9 Nov (27 hari)

·       Candra : Pancuran mas sumawur ing jagad ("Pancuran emas menyirami dunia")

·       Ciri - ciri : Mulai ada hujan besar, pohon asam jawa mulai menumbuhkan daun muda, ulat mulai bermunculan, laron keluar dari liang, lempuyang dan temu kunci mulai bertunas

·       Tuntunan Bagi Petani : Selokan sawah diperbaiki dan membuat tempat mengalir air di pinggir sawah, mulai menyebar padi gaga

6.      Kanem (Naya)

·       Mangsa utama : Labuh - Udan

·       Rentang Waktu : 10 Nov – 22 Des (43 hari)

·       Candra : Råså mulyå kasuciyan

·       Ciri - ciri : Buah-buahan (durian, rambutan, manggis, dan lain-lainnya) mulai bermunculan, belibis mulai kelihatan di tempat-tempat berair

·       Tuntunan Bagi Petani : Para petani menyebar benih padi di pembenihan

7.      Kapitu (Palguna)

·       Mangsa utama : Rendheng - Udan

·       Rentang Waktu : 23 Des – 3 Feb (43 hari)

·       Candra : Wiså kéntir ing marutå ("Racun hanyut bersama angin" > banyak penyakit)

·       Ciri - ciri : Banyak hujan, banyak sungai yang banjir

·       Tuntunan Bagi Petani : Saat memindahkan bibit padi ke sawah

8.      Kawolu (Wisaka)

·       Mangsa utama : Rendheng - Pangarep-arep

·       Rentang Waktu : 4 Feb – 28/29 Feb (26/27 hari)

·       Candra : Anjrah jroning kayun ("Keluarnya isi hati" > musim kucing kawin)

·       Ciri - ciri : Musim kucing kawin; padi menghijau; uret mulai bermunculan di permukaan

·       Tuntunan Bagi Petani : -

9.      Kasanga (Jita)

·       Mangsa utama : Rendheng - Pangarep-arep

·       Rentang Waktu : 1 Mar – 25 Mar (25 hari)

·       Candra : Wedharing wacånå mulyå ("Munculnya suara-suara mulia" > Beberapa hewan mulai bersuara untuk memikat lawan jenis)

·       Ciri - ciri : Padi berbunga; jangkrik mulai muncul; tonggeret dan gangsir mulai bersuara, banjir sisa masih mungkin muncul, bunga glagah berguguran

·       Tuntunan Bagi Petani : -

10.  Kasadasa (Srawana)

·       Mangsa utama : Marèng - Pangarep-arep

·       Rentang Waktu : 26 Mar – 18 Apr (24 hari)

·       Candra : Gedhong mineb jroning kalbu ("Gedung terperangkap dalam kalbu" > Masanya banyak hewan bunting)

·       Ciri - ciri : Padi mulai menguning, banyak hewan bunting, burung-burung kecil mulai menetas telurnya

·       Tuntunan Bagi Petani : -

11.  Dhesta / Hapit Lemah (Padrawana)

·       Mangsa utama : Marèng - Panèn

·       Rentang Waktu :  19 Apr – 11 Mei (23 hari)

·       Candra : Sesotyå sinåråwèdi ("Intan yang bersinar mulia")

·       Ciri - ciri : Burung-burung memberi makan anaknya, buah kapuk randu merekah

·       Tuntunan Bagi Petani : Saat panen raya génjah (panen untuk tanaman berumur pendek)

12.  Sadha / Hapit Kayu (Asuji)

·       Mangsa utama : Marèng - Terang

·       Rentang Waktu : 12 Mei – 21 Juni (41 hari)

·       Candra : Tirtå sah saking sasånå ("Air meninggalkan rumahnya" > jarang berkeringat karena udara dingin dan kering)

·       Ciri - ciri : Suhu menurun dan terasa dingin (bediding)

·       Tuntunan Bagi Petani : Saatnya menanam palawija: kedelai, nila, kapas, dan saatnya menggarap tegalan untuk menanam jagung.

B.     ARITMATIKA SEDERHANA SISTEM MODULO MENCARI HARI PASARAN JAWA DALAM KALENDER MASEHI

Mencari hari pasaran Jawa dalam kalender Masehi sebenarnya metodenya tidak jauh berbeda dengan mencari hari mingguan biasa, perbedaan signifikannya adalah 1 minggu = 7 hari sedangkan dalam pasaran Jawa, 1 siklus pasaran (pancawara) = 5 hari pasaran. Kelima hari pasaran Jawa itu adalah Pahing, Pon, Wage, Kliwon dan Legi.

Kita mengetahui bahwa dalam 1 tahun biasa terdapat 365 hari dan dalam 1 tahun kabisat terdapat 366 hari. Selanjutnya 365 kita bagi dengan 5 (sesuai dengan banyaknya hari pasaran Jawa) yaitu 73 pancawara. Jadi dalam 1 tahun biasa terdapat tepat 73 pancawara. Namun dalam 1 tahun kabisat terdapat 73 pancawara ditambah 1 hari pasaran menyendiri, atau dengan kata lain 366 hari dibagi 5 = 73 ditambah 1. Jumlah hari pasaran menyendiri ini sangat penting karena inilah kunci kita mengetahui hari pasaran Jawa.

·    Contoh 1: Dalam 100 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?

Cara menghitung:

100 tahun terdiri dari 76 tahun biasa dan 24 tahun kabisat.

Jumlah hari pasaran menyendiri:  hari pasaran menyendiri.

Hari pasaran menyendiri tidak boleh lebih dari 4, maka:

Angka 24 dibagi dengan 5 hasilnya adalah 5 pancawara ditambah 4 hari pasaran menyendiri.

Jadi dalam 100 tahun ada 4 hari pasaran menyendiri.

·    Contoh 2 : Dalam 200 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?

Cara menghitung:

Dalam 100 tahun terdapat 4 hari pasaran menyendiri, maka dalam 200 tahun terdapat  hari pasaran menyendiri. 8 hari pasaran menyendiri dibagi 5 maka sisanya adalah 3 hari pasaran menyendiri. Jadi dalam 200 tahun terdapat 3 hari pasaran menyendiri.

·    Contoh 3 : Dalam 300 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?

Cara menghitung:

Dalam 100 tahun terdapat 4 hari pasaran menyendiri, maka dalam 300 tahun terdapat   hari pasaran menyendiri. 12 hari pasaran menyendiri dibagi 5 maka sisanya adalah 2 hari pasaran menyendiri. Jadi dalam 300 tahun terdapat 2 hari pasaran menyendiri.

·    Contoh 4 : Dalam 400 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?

Cara menghitung:

Pada kalender modern yang kita gunakan sekarang tahun seperti 100, 200, 300, 700, 900, 1900, 2100 dan angka-angka tahun abad yang tidak habis dibagi 400 bukanlah tahun kabisat. Sementara tahun 400, 800, 1200, 1600, 2000 dan seterusnya yang habis dibagi 400 adalah tahun kabisat.

Dalam 100 tahun terdapat 4 hari pasaran menyendiri, maka dalam 400 tahun terdapat   hari pasaran menyendiri. Karena tidak seperti 100, 200 ataupun 300 tahun yang bukan tahun kabisat, jadi tahun 400 hari pasaran menyendirinya ditambah satu menjadi 17 hari pasaran menyendiri. 17 hari pasaran menyendiri ini dibagi 5 maka sisanya adalah 2 hari menyendiri. Jadi dalam 400 tahun terdapat 2 hari pasaran menyendiri.

Begitu pula dalam 800 tahun, 1200 tahun dan 1600 tahun juga terdapat 2 hari menyendiri. Namun untuk 2000 tahun digunakan 1600 tahun + 400 tahun atau dengan kata lain jumlah hari pasaran menyendirinya adalah 2 + 2 = 4 hari pasaran menyendiri.

·    Contoh 5 : Tanggal 17 Agustus 1945, jatuh pada hari pasaran apa?

Cara menghitung:

Langkah 1: Mencari berapa hari pasaran menyendirinya dari awal tahun masehi hingga akhir tahun 1900.

1900 tahun = 1600 tahun + 300 tahun.

1600 tahun, hari pasaran menyendirinya = 2

300 tahun hari menyendirinya = 2

2 + 2 = 4 hari menyendiri.

Langkah 2:  Mencari jumlah hari pasaran menyendiri dari tahun 1900 hingga 1944 (44 tahun).

44 tahun terdiri dari 11 tahun kabisat dan 33 tahun biasa.

(Perlu diingat: 1 tahun biasa mempunyai 0 hari pasaran menyendiri sedangkan 1 tahun kabisat mempunyai 1 hari pasaran menyendiri) Jadi 44 tahun mempunyai  hari pasaran menyendiri. 11 hari pasaran menyendiri sama dengan 1 hari pasaran menyendiri. (11 bagi 5 sisanya 1).

Langkah 3: Mencari jumlah hari pasaran menyendiri dari 1 Januari 1945 hingga 17 Agustus 1945.

Dari tanggal 1 Januari hingga 17 Agustus terdapat 229 hari.

229 dibagi 5 sisanya 4.

Jadi hari pasaran menyendirinya ada 4.

Langkah 4: Jumlahkan seluruh hari pasaran menyendiri yang sudah dihitung sebelumnya  yaitu 4 + 1 + 4 = 9 hari pasaran menyendiri. 9 hari pasaran menyendiri. 9 dibagi 5 = 1 sisa 4.

Jadi terdapat 4 hari pasaran menyendiri.

Tabel referensi berikut ini:

Jumlah Hari Pasaran Menyendiri	Hari Pasarannya
0 hari	Pahing
1 hari	Pon
2 hari	Wage
3 hari	Kliwon
4 hari	Legi

Karena 17 Agustus 1945 mempunyai total 4 hari pasaran menyendiri seperti yang kita telah hitung di atas, maka menurut tabel referensi 17 Agustus 1945 jatuh pada hari pasaran Legi.

C.    BASIS BILANGAN

Materi matematika yang berhubungan dengan perhitungan kalender Jawa yaitu basis bilangan. Basis bilangan atau disebut dasar bilangan adalah suatu sistem pengelompokan  perhitungan yang kita sepakati bersama. Sistem bilangan yang kita pakai sekarang disebut sistem desimal yaitu menggunakan basis (dasar) sepuluh. Basis sepuluh artinya penulisan lambang bilangan yang didasarkan pada pengelompokan sepuluh-sepuluh. Pada basis sepuluh angka (lambang bilangan) yang dipakai adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Sistem penulisan dengan basis sepuluh adalah sistem penulisan dengan pengelompokan sebagai berikut :

·         Tiap 10 satuan dikelompokkan menjadi 1 puluhan

·         Tiap 10 puluhan dikelompokkan menjadi 1 ratusan

·         Tiap 10 ratusan dikelompokkan menjadi 1 ribuan

·         Tiap 10 ribuan dikelompokkan menjadi 1 puluhribuan , dan seterusnya.

Selain basis sepuluh ada beberapa basis yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari misalnya basis 60, basis 2, basis 4, basis 8, dan basis 16. Bahkan terkadang dalam soal-soal untuk mengukur kemampuan matematis yang tinggi diperlukan pengetahuan tentang basis bilangan.

Tulisan ini diperuntukkan bagi mereka yang sudah mempelajari lambang bilangan berbagai basis dan cara mengubahnya melalui basis 10. Dalam tulisan ini yang akan dibahas adalah pengubahan basis tertentu ke basis lain secara langsung tanpa melalui basis 10. Yang paling banyak digunakan adalah basis 2 (yang dikenal dengan sistem biner). Karena itu akan dibahas bagaimana mengubah :

Basis 2 ke basis 4 dan sebaliknya, secara langsung;

Basis 2 ke basis 8 dan sebaliknya, secara langsung;

Basis 2 ke basis 16 dan sebaliknya, secara langsung;

Basis 3 ke basis 9 dan sebaliknya secara langsung; dan

Basis 4 ke basis 16 dan sebaliknya secara langsung.

Untuk membandingkan hasil operasi langsung ini ada baiknya pembaca mengingat kembali bagaimana mengubah bilangan dari basis tertentu ke dalam basis lain melalui basis 10.

1.      Basis Dua (Biner)

Basis dua hanya menggunakan angka 0 dan 1 saja. Disebut basis dua karena; setiap 2 satuan dikelompokkan menjadi 1 duaan  ditulis , setiap 2 duaan dikelompokkan menjadi 1 empatan  ditulis , dan seterusnya. Basis ini amat luas penerapannya dalam teknologi modern yang lebih dikenal dengan istilah teknologi digital.

a.       Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Empat Secara Langsung

Basis empat menggunakan angka 0, 1, 2, dan 3. Disebut basis empat karena pengelompokannya empat empat. Maksudnya setiap 4 satuan dikelompokkan menjadi 1 empatan  ditulis , setiap 4 empatan dikelompokkan menjadi 1 enambelasan  ditulis , dan seterusnya.

Contoh 1 : Ubahlah  ke dalam basis empat secara langsung!

Penyelesaian :

 dikelompokkan dua angka dimulai dari satuan sehingga didapatkan        dalam basis 10.

                                       dalam basis 10

                                        dalam basis 10

Karena itu .

Contoh 2 : Ubahlah  ke dalam basis empat!

Penyelesaian :

Bila dikelompokkan dua angka menjadi seperti ini . Perhatikan bahwa , dan .

Karena itu (Petunjuk : Bandingkan hasilnya melalui basis 10). 

Dengan melihat pola pada Contoh 1 dan Contoh 2, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung, kelompokkan bilangan dalam basis dua, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.

b.      Mengubah Bilangan Basis Empat ke Basis Dua Secara Langsung

Pola yang terjadi pada Contoh 1 dan Contoh 2 kalau kita balik, dapat dipakai untuk mengubah bilangan basis empat ke basis dua secara langsung. Tuliskan tiap angka dalam basis 4 ke dalam basis dua dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan.

Contoh 3 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua!

                 a.                         b.

                 c.           d.

Penyelesaian :

a.       , , , . Karena itu .

b.      , , , , . Karena itu . Perhatikan bahwa ada satu angka 0 yang tidak memiliki nilai..

c.       , , ,  , . Karena itu

d.      , , , , . Karena itu

2.      Basis Delapan (Octal)

Basis delapan menggunakan hanya angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 saja. Disebut basis delapan karena pengelompokannya delapan delapan. Maksudnya setiap 8 satuan dikelompokkan menjadi 1 delapanan  ditulis , setiap 8 delapanan dikelompokkan menjadi 1 enam-puluh-empatan  ditulis , dan seterusnya.

a.       Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Delapan Secara Langsung

Contoh 4 : Ubahlah  ke dalam basis delapan secara langsung!

Penyelesaian :

 dikelompokkan tiga angka dimulai dari satuan sehinga ditulis seperti ini                 =  dalam basis 10

                                           =

= 3 dalam basis 10

Karena itu

Contoh 5 : Ubahlah  ke dalam basis delapan secara langsung!

Penyelesaian :

Bila dikelompokkan tiga angka menjadi seperti ini . Perhatikan bahwa . Karena itu .

Dengan melihat pola pada Contoh 4 dan Contoh 5, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis delapan secara langsung, kelompokkan bilangan dalam basis dua, tiga angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.

b.      Mengubah Bilangan Basis Delapan ke Basis Dua Secara Langsung

Perhatikan contoh ini .

Jika pertanyaannya dibalik, kurang lebih menjadi  

Dengan melihat pola yang sudah ada tentunya sudah dapat diperkirakan jawabannya. Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis delapan ke dalam basis dua dengan tiga angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan.

Contoh 6 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua!

               a.                         b.

               c.                                     d.

Penyelesaian :

a.       , ,  ,  . Karena itu

b.      , , ,  . Karena itu

c.       , , , . Karena itu . Perhatikan bahwa dua angka 0 tidak memiliki nilai, karena itu .

d.      ,  , , , . Karena itu .

3.      Basis Enambelas (Hexagesimal)

Basis enambelas banyak digunakan dalam ilmu teknik. Basis enambelas menggunakan karakter (angka) tambahan untuk menuliskan bilangan 10, 11, 12, 13, 14, dan 15 dalam basis 10 ke dalam basis enambelas. Karakter itu masing-masing adalah A, B, C, D, E, dan F. Karena itu basis enambelas menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Disebut basis enambelas karena pengelompokannya enambelas enambelas. Maksudnya setiap 16 satuan dikelompokkan menjadi 1 enambelasan ditulis , setiap 16 enambelasan dikelompokan menjadi 1 dua-ratus-limapuluh-enaman  ditulis , dan seterusnya. Untuk membiasakan diri dalam basis 16 ada baiknya memperhatikan tabel berikut :

Angka Dalam Basis Sepuluh	Angka Dalam Basis Enambelas
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F
16

a.       Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Enambelas Secara Langsung

Contoh 7 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis enambelas!

                 a.                         b.

                 c.     d.

Penyelesaian :

a.         dikelompokkan empat angka dimulai dari satuan sehingga didapatkan .  (angka 0 didepan tidak memiliki nilai), . Karena itu .

b.       Dengan cara yang sama pada bagian (a), didapat kelompok . , , . Karena itu .

c.        Dikelompokkan menjadi . Tiap kelompok diubah menjadi , , , . Karena itu .

d.       Dikelompokkan menjadi . Tiap kelompok diubah menjadi , , , , . Karena itu .

Dengan melihat pola pada Contoh 7, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis enambelas secara langsung, kelompokkan bilangan dalam basis dua, empat angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas  dan urutkan hasilnya.

b.      Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Basis Dua Secara Langsung

Contoh 8 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua!

                 a.                      b.

                 c.                     d.

Penyelesaian :

Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis enambelas ke dalam basis dua dengan empat angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan.

a.       , , , . Karena itu

b.      , , , , . Karena itu .

c.       , , , , . Karena itu .

d.      , , , , . Karena itu

4.      Basis Tiga dan Basis Sembilan

Bagian ini adalah bagian untuk memperlihatkan bahwa ada basis tertentu yang dapat diubah secara langsung ke dalam basis tertentu yang lain. Bilangan-bilangan yang dapat diubah secara langsung hanya bila basis-nya memiliki hubungan perpangkatan. Perhatikan bahwa basis 2 , basis 4 , basis 8 , basis 16 , basis 3 , dan basis 9 . Masing-masing memiliki hubungan perpangkatan, karena itu dapat diubah secara langsung. Selain basis tersebut harus melalui perubahan ke basis 10 terlebih dahulu kemudian diubah ke dalam basis yang diinginkan.

a.       Mengubah Bilangan Basis Tiga ke Basis Sembilan Secara Langsung

Basis tiga hanya menggunakan angka-angka 0, 1, dan 2, sedang basis sembilan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Basis tiga dikelompokkan atas satuan , tigaan, sembilanan, dan seterusnya. Basis sembilan dikelompokkan atas satuan, sembilanan, delapan-puluh-satuan, dan seterusnya.

Mengubah bilangan basis tiga ke basis sembilan secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, kelompokkan bilangan dalam basis tiga, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.

Contoh 9 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis sembilan!

                 a.                   b.

Penyelesaian :

 Tuliskan bilangan dengan kelompok dua angka seperti ini . , , dan . Karena itu .

Kelompokkan dua angka menjadi . , , , . Karena itu .

b.      Mengubah Bilangan Basis Sembilan ke Basis Tiga Secara Langsung

Mengubah bilangan basis sembilan ke basis tiga secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya tuliskan tiap angka dalam basis sembilan ke dalam basis tiga dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis tiga secara berurutan.

Contoh 10 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis tiga!

                 a.                         b.

                 c.                 d.

Penyelesaian :

a.         . , , . Karena itu

b.        . , , , , . Karena itu

c.         , , , , , , , . Karena itu . (Ada angka 0 yang tidak memiliki nilai).

d.        , , , , , , , , .  Karena itu .

5.      Basis Empat dan Basis Enambelas

a.       Mengubah Bilangan Basis Empat ke Dalam Basis Enambelas Secara Langsung

Mengubah bilangan basis empat ke basis enambelas secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, kelompokkan bilangan dalam basis empat, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas  dan urutkan hasilnya.

Contoh 11 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis 16!

                    a. 101₄                         b. 210₄

                    c. 331₄                         d. 333₄

Penyelesaian :

Kelompokkan bilangan-bilangan tersebut dua angka dimulai dari satuan sehingga :

b.    101₄ = ....₁₆? Ditulis dulu . , . Karena itu .

c.     , . Karena itu .

d.     , . Karena itu . Karena itu .

e.     , . Karena itu .

b.      Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Dalam Basis Empat Secara Langsung

Mengubah bilangan basis enambelas ke basis empat secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya tuliskan tiap angka dalam basis eambelas ke dalam basis empat dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis empat secara berurutan.

Contoh 12 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis empat!

                                a.                      b.

                                c.                    d.

Penyelesaian :

a.     , , . Karena itu

b.     , , , . Karena itu

c.      , , , . Karena itu .

d.     , , , , , . Karena itu

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2010. Pranata mangsa kanggo nyrateni lakune alam. Solopos daring. Edisi Suplemen 25-02-2010. Diakses 17-10-2015.

Daldjoeni, N. 1984. Pranatamangsa, the javanese agricultural calendar – Its bioclimatological and sociocultural function in developing rural life. The Environmentalist 4:15–18. DOI:10.1007/BF01907286

Hubungan pranata mangsa dengan musim penangkapan ikan. Artikel pada laman Dinas Perikanan dan Kelautan Provinsi DI Yogyakarta.

King, D.A. 1990. A Survey of Medieval Islamic Shadow Schemes for Simple Time-Reckoning. Oriens 32:191-249.

Kusuma, M. 2009. Berlayar dengan Panduan Pranata Mangsa. Kompas daring. Edisi 20-01-2009. Diakses 17-10-2015.

Landsdrukkerij (Batavia). 1837. Almanak van Nederlandsch-Indië voor het jaar. Lands Drukkery. p. 12

Tanojo, R. 1962. Primbon Djawa (Sabda Pandita Ratu). TB Pelajar. Surakarta. pp 36–45.