ETNOMATEMATIKA PRANATAMANGSA
PRANATA MANGSA
Pranata mangsa (bahasa Jawa pranåtåmångså, berarti "ketentuan
musim") adalah semacam penanggalan yang dikaitkan dengan kegiatan usaha
pertanian, khususnya untuk kepentingan bercocok tanam atau penangkapan ikan.
Pranata mangsa berbasis peredaran matahari dan siklusnya (setahun) berumur 365
hari (atau 366 hari) serta memuat berbagai aspek fenologi dan gejala alam
lainnya yang dimanfaatkan sebagai pedoman dalam kegiatan usaha tani maupun
persiapan diri menghadapi bencana (kekeringan, wabah penyakit, serangan
pengganggu tanaman, atau banjir) yang mungkin timbul pada waktu-waktu tertentu.
Pranata mangsa dalam versi pengetahuan yang dipegang petani atau nelayan
diwariskan secara oral (dari mulut ke mulut). Selain itu, ia bersifat lokal dan
temporal (dibatasi oleh tempat dan waktu) sehingga suatu perincian yang dibuat
untuk suatu tempat tidak sepenuhnya berlaku untuk tempat lain. Petani,
umpamanya, menggunakan pedoman pranata mangsa untuk menentukan awal masa tanam.
Nelayan menggunakannya sebagai pedoman untuk melaut atau memprediksi jenis
tangkapan.
Pranata mangsa dalam versi Kasunanan (sebagaimana
dipertelakan pada bagian ini) berlaku untuk wilayah di antara Gunung Merapi dan Gunung Lawu. Setahun menurut penanggalan ini dibagi
menjadi empat musim (mangsa) utama, yaitu musim kemarau atau ketigå
(88 hari), musim pancaroba menjelang hujan atau labuh (95 hari), musim hujan atau dalam bahasa Jawa disebut rendheng (baca [rəndhəŋ ],
95 hari) , dan pancaroba akhir musim hujan
atau marèng (IPA:[marɛŋ], 86 hari) .
Musim dapat dikaitkan pula dengan perilaku hewan, perkembangan tumbuhan, situasi alam sekitar, dan dalam praktik amat
berkaitan dengan kultur agraris. Berdasarkan
ciri-ciri ini setahun juga dapat dibagi menjadi empat musim utama dan dua musim
"kecil": terang ("langit cerah", 82 hari), semplah
("penderitaan", 99 hari) dengan mangsa kecil paceklik pada 23
hari pertama, udan ("musim hujan", 86 hari), dan pangarep-arep
("penuh harap", 98/99 hari) dengan mangsa kecil panèn pada 23
hari terakhir.
Dalam pembagian yang lebih rinci, setahun
dibagi menjadi 12 musim (mangsa) yang rentang waktunya lebih singkat
namun dengan jangka waktu bervariasi. Tabel berikut ini menunjukkan pembagian
formal menurut versi Kasunanan. Perlu diingat bahwa tuntunan ini berlaku di
saat penanaman padi sawah hanya dimungkinkan sekali dalam
setahun, diikuti oleh palawija atau padi gogo, dan kemudian lahan bera
(tidak ditanam).
1. Sejarah
dan antropologi
Bentuk formal
pranata mangsa diperkenalkan pada masa Sunan Pakubuwana VII (raja Surakarta) dan mulai dipakai
sejak 22 Juni 1856, dimaksudkan sebagai pedoman bagi para petani pada masa itu.
Perlu disadari bahwa penanaman padi pada waktu itu hanya berlangsung sekali
setahun, diikuti oleh palawija atau padi gogo. Selain itu, pranata mangsa pada masa itu
dimaksudkan sebagai petunjuk bagi pihak-pihak terkait untuk mempersiapkan diri
menghadapi bencana alam, mengingat teknologi prakiraan cuaca belum dikenal.
Pranata mangsa dalam bentuk "kumpulan pengetahuan" lisan tersebut
hingga kini masih diterapkan oleh sekelompok orang dan sedikit banyak merupakan
pengamatan terhadap gejala-gejala alam.
Terdapat petunjuk
bahwa masyarakat Jawa, khususnya yang bermukim di wilayah sekitar Gunung Merapi, Gunung Merbabu, sampai Gunung Lawu, telah mengenal prinsip-prinsip pranata
mangsa jauh sebelum kedatangan pengaruh dari India. Prinsip-prinsip ini
berbasis peredaran matahari di langit dan peredaran rasi bintang Waluku (Orion). Di wilayah dengan tipe iklim Am
menurut Koeppen ini, penduduknya menerapkan penanggalan berbasis
peredaran matahari dan rasi bintang sebagai bagian dari keselarasan hidup
mengikuti perubahan irama alam dalam setahun. Pengetahuan ini dapat
diperkirakan telah diwariskan secara turun-temurun sejak periode Kerajaan Medang (Mataram Hindu)
dari abad ke-9 sampai dengan periode Kesultanan
Mataram pada
abad ke-17 sebagai panduan dalam bidang pertanian, ekonomi, administrasi, dan pertahanan (kemiliteran).
Perubahan teknologi
yang diterapkan di Jawa semenjak 1970-an, berupa paket intensifikasi pertanian
seperti penggunaan pupuk kimia, kultivar berumur genjah (dapat dipanen pada umur 120
hari atau kurang, sebelumnya memakan waktu hingga 180 hari), meluasnya jaringan
irigasi melalui berbagai bendungan atau bendung, dan terutama berkembang pesatnya teknik prakiraan cuaca telah menyebabkan
pranata mangsa (dalam bentuk formal versi Kasunanan) kehilangan banyak
relevansi. Isu perubahan iklim global yang semakin menguat semenjak 1990-an
juga membuat pranata mangsa harus ditinjau kembali karena dianggap "tidak
lagi dapat dibaca".
2.
Kosmografi
dan klimatologi
Rasi Orion
("Waluku", bintang bajak) merupakan pedoman penting pada pranata
mangsa. Pranata mangsa memiliki latar belakang kosmografi ("pengukuran posisi benda langit"),
pengetahuan yang telah dikuasai oleh orang Austronesia sebagai pedoman untuk navigasi di laut serta berbagai kegiatan ritual
kebudayaan. Karena peredaran matahari dalam setahun menyebabkan perubahan musim,
pranata mangsa juga memiliki sejumlah penciri klimatologis.
Awal mangsa kasa
(pertama) adalah 22 Juni, yaitu saat posisi matahari di langit berada pada Garis Balik Utara, sehingga bagi
petani di wilayah di antara Merapi dan Lawu saat itu adalah saat bayangan
terpanjang (empat pecak/kaki ke arah selatan). Pada saat yang sama, rasi
bintang Waluku terbit pada waktu subuh (menjelang fajar). Dari sinilah keluar nama
"waluku", karena kemunculan rasi Orion pada waktu subuh menjadi
pertanda bagi petani untuk mengolah sawah/lahan menggunakan bajak (bahasa Jawa: waluku).
Panjang rentang
waktu yang berbeda-beda di antara keempat mangsa pertama (dan empat mangsa
terakhir, karena simetris) ditentukan dari perubahan panjang bayangan. Mangsa
pertama berakhir di saat bayangan menjadi tiga pecak, dan mangsa karo
(kedua) dimulai. Demikian selanjutnya, hingga mangsa keempat berakhir di saat
bayangan tepat berada di kaki, di saat posisi matahari berada pada zenit untuk kawasan yang disebutkan sebelumnya (antara
Merapi dan Lawu). Pergerakan garis edar matahari ke selatan mengakibatkan
pemanjangan bayangan ke utara dan mencapai maksimum sepanjang dua pecak
di saat posisi matahari berada pada Garis
Balik Selatan (21/22 Desember), dan menandai berakhirnya mangsa kanem
(ke-6). Selanjutnya proses berulang secara simetris untuk mangsa ke-7 hingga
ke-12. Sebuah jam matahari di Gresik yang dibuat pada tahun 1776 secara eksplisit
menunjukkan hal ini. Mangsa ke-7
ditandai dengan terbenamnya rasi Waluku pada waktu subuh. Beberapa rasi
bintang, bintang, atau galaksi yang dijadikan rujukan bagi pranata mangsa
adalah Waluku, Lumbung (Gubukpèncèng, Crux), Banyakangrem (Scorpius), Wuluh (Pleiades), Wulanjarngirim (alpha- dan beta-Centauri), serta Bimasakti.
Batas-batas eksak
tanggal pada pranata mangsa versi Kasunanan merupakan modifikasi kecil terhadap
pranata mangsa yang sudah dikenal sebelumnya yang didasarkan pada posisi
benda-benda langit.
Secara klimatologi,
pranata mangsa mengumpulkan informasi mengenai perubahan musim serta
saat-saatnya yang berlaku untuk wilayah Nusantara yang dipengaruhi oleh angin muson, yang pada gilirannya juga dikendalikan
arahnya oleh peredaran matahari. Awal musim penghujan dan kemarau serta
berbagai pertanda fisiknya yang digambarkan pranata mangsa secara umum sejajar
dengan hasil pengamatan klimatologi. Kelemahan pada pranata mangsa adalah bahwa
ia tidak menggambarkan variasi yang mungkin muncul pada tahun-tahun tertentu
(misalnya akibat munculnya gejala ENSO). Selain itu, terdapat sejumlah ketentuan pada
pranata mangsa yang lebih banyak terkait dengan aspek horoskop, sehingga cenderung tidak logis.
3.
Kalender
Pranatamangsa
Kalender
Pranatamangsa dapat juga dipandang sebagai Kalender Orionik atau kalender yang
menggunakan rasi bintang, karena kehadiran Orion yang menurut masyarakat
agraris dipandang sebagai (Wa)luku/bajak lebih memegang peranan bagi
masyarakat. Bagi petani di masa lampau, dengan memegang beras pada telapak
tangan terbuka, kemudian mengarahkan tangan pada Luku pada rembang petang, maka
ketika bulir-bulir beras jatuh dari tangan, itulah saat untuk memulai bercocok
tanam.Praktek penggunaan kalender ini telah dilakukan semenjak sejarah
Indonesia belum tercatat. Patokannya tidak hanya benda langit, tapi juga
fenomena yang terjadi di alam: Musim tanaman, perilaku binatang, arah angin,
kelembaban, curah hujan; dan kalender ini dipergunakan sebagai pedoman bertani,
berdagang, merantau, berperang & pemerintahan. Baru di abad ke-19, kalender
ini dibakukan sebagai sistem kalender oleh Sri Susuhunan Pakubuwono ke-VII , 22
Juni 1856, juga dengan memasukkan tahun Kabisat.
No.
|
Hamaning
Mangsa
|
Waktu Mangsa
|
Umur Wastu
|
Wuntu
|
1.
|
Kasa (kartika)
|
22 Juni – 1
Agustus
|
41
|
41
|
2.
|
Karo (poso)
|
2 Agustus – 24
Agustus
|
23
|
23
|
3.
|
Katelu
|
25 Agustus –
17 September
|
24
|
24
|
4.
|
Kapat (sitra)
|
18 Sepetember
– 12 Oktober
|
25
|
25
|
5.
|
Kalima
(manggala)
|
13 Oktober – 8
November
|
27
|
27
|
6.
|
Kanem (naya)
|
9 November –
21 Desember
|
43
|
43
|
7.
|
Kapitu
(palguna)
|
22 Desember –
2 Februari
|
43
|
43
|
8.
|
Kawolu
(wasika)
|
3 Februari –
28 Februari
|
26
|
27
|
9.
|
Kasanga (jita)
|
1 Maret – 25
Maret
|
25
|
25
|
10.
|
Kasadasa
(srawana)
|
26 Maret – 18
April
|
24
|
24
|
11.
|
Dhesta
(pradawana)
|
19 April – 11
Mei
|
23
|
23
|
12.
|
Sadha (asuji)
|
12 Mei – 21
Juni
|
41
|
41
|
365
|
366
|
1.
Kasa
(Kartika)
·
Mangsa utama : Ketiga - Terang
·
Rentang Waktu : 22 Juni – 1 Ags (41 hari)
·
Candra : Sesotya murcå ing embanan ("Intan
jatuh dari wadahnya" > daun-daun berjatuhan)
·
Ciri - ciri : Daun-daun berguguran, kayu mengering;
belalang masuk ke dalam tanah
·
Tuntunan Bagi Petani : Saatnya membakar
jerami; mulai menanam palawija
2.
Karo
(Pusa)
·
Mangsa utama : Ketiga - Paceklik
·
Rentang Waktu : 2 Ags – 24 Ags (23 hari)
·
Candra : Bantålå rengkå ("bumi
merekah")
·
Ciri - ciri : Tanah mengering dan retak-retak, pohon randu
dan mangga mulai berbunga
·
Tuntunan Bagi Petani : -
3.
Katelu
(Manggasri)
·
Mangsa utama : Ketiga - Semplah
·
Rentang Waktu : 25 Ags – 18 Sept (24 hari)
·
Candra : Sutå manut ing båpå ("anak
menurut bapaknya")
·
Ciri - ciri : Tanaman merambat menaiki lanjaran, rebung
bambu bermunculan
·
Tuntunan Bagi Petani : Palawija mulai
dipanen
4.
Kapat
(Sitra)
·
Mangsa utama : Labuh - Semplah
·
Rentang Waktu : 19 Sept – 13 Okt (25 hari)
·
Candra : Waspå kumembeng jroning kalbu
("Air mata menggenang dalam kalbu" > mata air mulai menggenang)
·
Ciri - ciri : Mata air mulai terisi; kapuk randu mulai
berbuah, burung-burung kecil mulai bersarang dan bertelur
·
Tuntunan Bagi Petani : Panen palawija;
saat menggarap lahan untuk padi gaga
5.
Kalima
(Manggakala)
·
Mangsa utama : Labuh - Semplah
·
Rentang Waktu : 14 Okt – 9 Nov (27 hari)
·
Candra : Pancuran mas sumawur ing jagad
("Pancuran emas menyirami dunia")
·
Ciri - ciri : Mulai ada hujan besar, pohon asam jawa mulai
menumbuhkan daun muda, ulat mulai bermunculan, laron keluar dari liang,
lempuyang dan temu kunci mulai bertunas
·
Tuntunan Bagi Petani : Selokan sawah
diperbaiki dan membuat tempat mengalir air di pinggir sawah, mulai menyebar
padi gaga
6.
Kanem
(Naya)
·
Mangsa utama : Labuh - Udan
·
Rentang Waktu : 10 Nov – 22 Des (43 hari)
·
Candra : Råså mulyå kasuciyan
·
Ciri - ciri : Buah-buahan (durian, rambutan, manggis, dan
lain-lainnya) mulai bermunculan, belibis mulai kelihatan di tempat-tempat
berair
·
Tuntunan Bagi Petani : Para petani
menyebar benih padi di pembenihan
7.
Kapitu
(Palguna)
·
Mangsa utama : Rendheng - Udan
·
Rentang Waktu : 23 Des – 3 Feb (43 hari)
·
Candra : Wiså kéntir ing marutå ("Racun
hanyut bersama angin" > banyak penyakit)
·
Ciri - ciri : Banyak hujan, banyak sungai yang banjir
·
Tuntunan Bagi Petani : Saat memindahkan
bibit padi ke sawah
8.
Kawolu
(Wisaka)
·
Mangsa utama : Rendheng - Pangarep-arep
·
Rentang Waktu : 4 Feb – 28/29 Feb (26/27 hari)
·
Candra : Anjrah jroning kayun ("Keluarnya
isi hati" > musim kucing kawin)
·
Ciri - ciri : Musim kucing kawin; padi menghijau; uret
mulai bermunculan di permukaan
·
Tuntunan Bagi Petani : -
9.
Kasanga
(Jita)
·
Mangsa utama : Rendheng - Pangarep-arep
·
Rentang Waktu : 1 Mar – 25 Mar (25 hari)
·
Candra : Wedharing wacånå mulyå
("Munculnya suara-suara mulia" > Beberapa hewan mulai bersuara
untuk memikat lawan jenis)
·
Ciri - ciri : Padi berbunga; jangkrik mulai muncul;
tonggeret dan gangsir mulai bersuara, banjir sisa masih mungkin muncul, bunga
glagah berguguran
·
Tuntunan Bagi Petani : -
10. Kasadasa (Srawana)
·
Mangsa utama : Marèng - Pangarep-arep
·
Rentang Waktu : 26 Mar – 18 Apr (24 hari)
·
Candra : Gedhong mineb jroning kalbu
("Gedung terperangkap dalam kalbu" > Masanya banyak hewan bunting)
·
Ciri - ciri : Padi mulai menguning, banyak hewan bunting,
burung-burung kecil mulai menetas telurnya
·
Tuntunan Bagi Petani : -
11. Dhesta / Hapit Lemah (Padrawana)
·
Mangsa utama : Marèng - Panèn
·
Rentang Waktu : 19 Apr – 11 Mei (23 hari)
·
Candra : Sesotyå sinåråwèdi ("Intan yang
bersinar mulia")
·
Ciri - ciri : Burung-burung memberi makan anaknya, buah
kapuk randu merekah
·
Tuntunan Bagi Petani : Saat panen raya
génjah (panen untuk tanaman berumur pendek)
12. Sadha / Hapit Kayu (Asuji)
·
Mangsa utama : Marèng - Terang
·
Rentang Waktu : 12 Mei – 21 Juni (41 hari)
·
Candra : Tirtå sah saking sasånå ("Air
meninggalkan rumahnya" > jarang berkeringat karena udara dingin dan
kering)
·
Ciri - ciri : Suhu menurun dan terasa dingin (bediding)
·
Tuntunan Bagi Petani : Saatnya menanam
palawija: kedelai, nila, kapas, dan saatnya menggarap tegalan untuk menanam
jagung.
B.
ARITMATIKA
SEDERHANA SISTEM MODULO MENCARI HARI
PASARAN JAWA DALAM KALENDER MASEHI
Mencari hari pasaran Jawa dalam kalender Masehi
sebenarnya metodenya tidak jauh berbeda dengan mencari hari mingguan biasa,
perbedaan signifikannya adalah 1 minggu = 7 hari sedangkan dalam pasaran Jawa,
1 siklus pasaran (pancawara) = 5 hari pasaran. Kelima hari pasaran Jawa itu
adalah Pahing, Pon, Wage, Kliwon dan Legi.
Kita mengetahui bahwa dalam 1 tahun biasa
terdapat 365 hari dan dalam 1 tahun kabisat terdapat 366 hari. Selanjutnya
365 kita bagi dengan 5 (sesuai dengan banyaknya hari pasaran Jawa) yaitu 73
pancawara. Jadi dalam 1 tahun biasa terdapat tepat 73 pancawara. Namun dalam 1
tahun kabisat terdapat 73 pancawara ditambah 1 hari pasaran menyendiri,
atau dengan kata lain 366 hari dibagi 5 = 73 ditambah 1. Jumlah hari
pasaran menyendiri ini sangat penting karena inilah kunci kita
mengetahui hari pasaran Jawa.
·
Contoh 1: Dalam
100 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?
Cara
menghitung:
100 tahun
terdiri dari 76 tahun biasa dan 24 tahun kabisat.
Jumlah hari
pasaran menyendiri: hari pasaran menyendiri.
Hari pasaran
menyendiri tidak boleh lebih dari 4, maka:
Angka 24 dibagi
dengan 5 hasilnya adalah 5 pancawara ditambah 4 hari pasaran menyendiri.
Jadi dalam 100
tahun ada 4 hari pasaran menyendiri.
·
Contoh 2 :
Dalam 200 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?
Cara
menghitung:
Dalam 100 tahun
terdapat 4 hari pasaran menyendiri, maka dalam 200 tahun terdapat hari pasaran menyendiri. 8 hari
pasaran menyendiri dibagi 5 maka sisanya adalah 3 hari pasaran menyendiri. Jadi
dalam 200 tahun terdapat 3 hari pasaran menyendiri.
·
Contoh 3 :
Dalam 300 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?
Cara
menghitung:
Dalam 100 tahun
terdapat 4 hari pasaran menyendiri, maka dalam 300 tahun terdapat hari pasaran menyendiri. 12 hari pasaran
menyendiri dibagi 5 maka sisanya adalah 2 hari pasaran menyendiri. Jadi dalam
300 tahun terdapat 2 hari pasaran menyendiri.
·
Contoh 4 :
Dalam 400 tahun, terdapat berapa hari pasaran menyendiri?
Cara
menghitung:
Pada kalender
modern yang kita gunakan sekarang tahun seperti 100, 200, 300, 700, 900, 1900,
2100 dan angka-angka tahun abad yang tidak habis dibagi 400 bukanlah tahun
kabisat. Sementara tahun 400, 800, 1200, 1600, 2000 dan seterusnya yang habis
dibagi 400 adalah tahun kabisat.
Dalam 100 tahun terdapat 4 hari pasaran menyendiri,
maka dalam 400 tahun terdapat hari pasaran menyendiri. Karena
tidak seperti 100, 200 ataupun 300 tahun yang bukan tahun kabisat, jadi tahun
400 hari pasaran menyendirinya ditambah satu menjadi 17 hari pasaran
menyendiri. 17 hari pasaran menyendiri ini dibagi 5 maka sisanya adalah 2 hari
menyendiri. Jadi dalam 400 tahun terdapat 2 hari pasaran menyendiri.
Begitu pula dalam 800 tahun, 1200 tahun dan 1600
tahun juga terdapat 2 hari menyendiri. Namun untuk 2000 tahun digunakan
1600 tahun + 400 tahun atau dengan kata lain jumlah hari pasaran menyendirinya
adalah 2 + 2 = 4 hari pasaran menyendiri.
·
Contoh 5 :
Tanggal 17 Agustus 1945, jatuh pada hari pasaran apa?
Cara
menghitung:
Langkah 1: Mencari berapa hari pasaran menyendirinya dari awal
tahun masehi hingga akhir tahun 1900.
1900 tahun =
1600 tahun + 300 tahun.
1600 tahun,
hari pasaran menyendirinya = 2
300 tahun hari
menyendirinya = 2
2 + 2 = 4 hari menyendiri.
Langkah 2: Mencari jumlah hari pasaran menyendiri dari
tahun 1900 hingga 1944 (44 tahun).
44 tahun
terdiri dari 11 tahun kabisat dan 33 tahun biasa.
(Perlu diingat:
1 tahun biasa mempunyai 0 hari pasaran menyendiri sedangkan 1 tahun kabisat
mempunyai 1 hari pasaran menyendiri) Jadi 44 tahun mempunyai hari pasaran menyendiri. 11 hari
pasaran menyendiri sama dengan 1 hari pasaran menyendiri.
(11 bagi 5 sisanya 1).
Langkah 3: Mencari jumlah hari pasaran menyendiri dari 1
Januari 1945 hingga 17 Agustus 1945.
Dari tanggal 1
Januari hingga 17 Agustus terdapat 229 hari.
229 dibagi 5
sisanya 4.
Jadi hari
pasaran menyendirinya ada 4.
Langkah 4: Jumlahkan seluruh hari pasaran menyendiri yang
sudah dihitung sebelumnya yaitu 4 + 1 +
4 = 9 hari pasaran menyendiri. 9 hari pasaran menyendiri. 9 dibagi 5 = 1 sisa
4.
Jadi terdapat 4 hari pasaran menyendiri.
Tabel referensi berikut ini:
Jumlah Hari Pasaran Menyendiri
|
Hari Pasarannya
|
0 hari
|
Pahing
|
1 hari
|
Pon
|
2 hari
|
Wage
|
3 hari
|
Kliwon
|
4 hari
|
Legi
|
Karena 17 Agustus 1945 mempunyai total 4 hari
pasaran menyendiri seperti yang kita telah hitung di atas, maka menurut tabel
referensi 17 Agustus 1945 jatuh pada hari pasaran Legi.
C. BASIS
BILANGAN
Materi matematika yang berhubungan dengan perhitungan kalender Jawa yaitu
basis bilangan. Basis bilangan atau disebut dasar bilangan adalah suatu sistem
pengelompokan perhitungan yang kita
sepakati bersama. Sistem bilangan yang kita pakai sekarang disebut sistem
desimal yaitu menggunakan basis (dasar) sepuluh. Basis sepuluh artinya
penulisan lambang bilangan yang didasarkan pada pengelompokan sepuluh-sepuluh.
Pada basis sepuluh angka (lambang bilangan) yang dipakai adalah 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, dan 9.
Sistem penulisan dengan basis
sepuluh adalah sistem penulisan dengan pengelompokan sebagai berikut :
·
Tiap
10 satuan dikelompokkan menjadi 1 puluhan
·
Tiap
10 puluhan dikelompokkan menjadi 1 ratusan
·
Tiap
10 ratusan dikelompokkan menjadi 1 ribuan
·
Tiap
10 ribuan dikelompokkan menjadi 1 puluhribuan , dan seterusnya.
Selain basis sepuluh ada beberapa basis yang digunakan dalam kehidupan
sehari-hari misalnya basis 60, basis 2, basis 4, basis 8, dan basis 16. Bahkan
terkadang dalam soal-soal untuk mengukur kemampuan matematis yang tinggi
diperlukan pengetahuan tentang basis bilangan.
Tulisan
ini diperuntukkan bagi mereka yang sudah mempelajari lambang bilangan berbagai
basis dan cara mengubahnya melalui basis 10. Dalam tulisan ini yang akan
dibahas adalah pengubahan basis tertentu ke basis lain secara langsung tanpa
melalui basis 10. Yang paling banyak digunakan adalah basis 2 (yang dikenal
dengan sistem biner). Karena itu akan dibahas bagaimana mengubah :
Basis 2
ke basis 4 dan sebaliknya, secara langsung;
Basis 2
ke basis 8 dan sebaliknya, secara langsung;
Basis 2
ke basis 16 dan sebaliknya, secara langsung;
Basis 3
ke basis 9 dan sebaliknya secara langsung; dan
Basis 4
ke basis 16 dan sebaliknya secara langsung.
Untuk membandingkan hasil operasi langsung ini ada baiknya pembaca
mengingat kembali bagaimana mengubah bilangan dari basis tertentu ke dalam
basis lain melalui basis 10.
1. Basis Dua (Biner)
Basis dua
hanya menggunakan angka 0 dan 1 saja. Disebut basis dua karena; setiap 2 satuan
dikelompokkan menjadi 1 duaan ditulis , setiap 2 duaan dikelompokkan menjadi 1 empatan
ditulis , dan seterusnya. Basis ini amat luas penerapannya
dalam teknologi modern yang lebih dikenal dengan istilah teknologi digital.
a. Mengubah
Bilangan Basis Dua ke Basis Empat Secara Langsung
Basis empat menggunakan angka 0,
1, 2, dan 3. Disebut basis empat karena pengelompokannya empat empat. Maksudnya
setiap 4 satuan dikelompokkan menjadi 1 empatan ditulis , setiap 4 empatan dikelompokkan menjadi 1
enambelasan ditulis , dan seterusnya.
Contoh 1 : Ubahlah ke dalam basis
empat secara langsung!
Penyelesaian :
dikelompokkan dua angka dimulai dari satuan
sehingga didapatkan dalam basis 10.
dalam basis 10
dalam basis 10
Karena itu .
Contoh 2 : Ubahlah ke dalam basis
empat!
Penyelesaian :
Bila dikelompokkan dua angka
menjadi seperti ini . Perhatikan bahwa , dan .
Karena itu (Petunjuk
: Bandingkan hasilnya melalui basis 10).
Dengan melihat pola pada Contoh 1
dan Contoh 2, dapat dikatakan bahwa; untuk
mengubah bilangan basis dua ke basis
empat secara langsung, kelompokkan
bilangan dalam basis dua, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam
basis sepuluh dan urutkan hasilnya.
b.
Mengubah Bilangan Basis Empat ke Basis Dua Secara
Langsung
Pola yang terjadi pada Contoh 1
dan Contoh 2 kalau kita balik, dapat dipakai untuk mengubah bilangan basis
empat ke basis dua secara langsung. Tuliskan tiap angka dalam basis 4 ke dalam basis dua
dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan.
Contoh 3 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis dua!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a.
, , , .
Karena itu .
b.
, , , , .
Karena itu .
Perhatikan bahwa ada satu angka 0 yang tidak memiliki nilai..
c.
, , , , .
Karena itu
d.
, , , , .
Karena itu
2.
Basis
Delapan (Octal)
Basis
delapan menggunakan hanya angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 saja. Disebut basis
delapan karena pengelompokannya delapan delapan. Maksudnya setiap 8 satuan
dikelompokkan menjadi 1 delapanan ditulis , setiap 8 delapanan dikelompokkan menjadi 1
enam-puluh-empatan ditulis , dan seterusnya.
a. Mengubah
Bilangan Basis Dua ke Basis Delapan Secara Langsung
Contoh 4 : Ubahlah ke dalam basis
delapan secara langsung!
Penyelesaian :
dikelompokkan tiga angka dimulai dari satuan
sehinga ditulis seperti ini = dalam basis 10
=
= 3 dalam
basis 10
Karena itu
Contoh 5 : Ubahlah ke dalam basis
delapan secara langsung!
Penyelesaian :
Bila dikelompokkan tiga angka
menjadi seperti ini . Perhatikan bahwa . Karena itu .
Dengan melihat pola pada Contoh 4
dan Contoh 5, dapat dikatakan bahwa; untuk
mengubah bilangan basis dua ke basis
delapan secara langsung, kelompokkan
bilangan dalam basis dua, tiga angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke
dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.
b. Mengubah
Bilangan Basis Delapan ke Basis Dua Secara Langsung
Perhatikan contoh ini .
Jika pertanyaannya dibalik,
kurang lebih menjadi
Dengan melihat pola yang sudah
ada tentunya sudah dapat diperkirakan jawabannya. Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis
delapan ke dalam basis dua dengan tiga angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam
basis dua secara berurutan.
Contoh 6 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis dua!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a.
, , , .
Karena itu
b.
, , , .
Karena itu
c.
, , , .
Karena itu .
Perhatikan bahwa dua angka 0 tidak memiliki nilai, karena itu .
d.
, , , , .
Karena itu .
3.
Basis
Enambelas (Hexagesimal)
Basis enambelas banyak digunakan dalam ilmu teknik. Basis
enambelas menggunakan karakter (angka) tambahan untuk menuliskan bilangan 10,
11, 12, 13, 14, dan 15 dalam basis 10 ke dalam basis enambelas. Karakter itu
masing-masing adalah A, B, C, D, E, dan F. Karena itu basis enambelas
menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Disebut
basis enambelas karena pengelompokannya enambelas enambelas. Maksudnya setiap
16 satuan dikelompokkan menjadi 1 enambelasan ditulis , setiap 16 enambelasan dikelompokan menjadi 1
dua-ratus-limapuluh-enaman ditulis , dan seterusnya. Untuk membiasakan diri dalam basis
16 ada baiknya memperhatikan tabel berikut :
Angka Dalam Basis Sepuluh
|
Angka Dalam Basis Enambelas
|
0
|
0
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
4
|
4
|
5
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
8
|
8
|
9
|
9
|
10
|
A
|
11
|
B
|
12
|
C
|
13
|
D
|
14
|
E
|
15
|
F
|
16
|
|
a. Mengubah
Bilangan Basis Dua ke Basis Enambelas Secara Langsung
Contoh 7 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis enambelas!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a.
dikelompokkan empat angka dimulai dari satuan
sehingga didapatkan . (angka 0 didepan tidak memiliki nilai), .
Karena itu .
b.
Dengan cara yang sama pada bagian (a), didapat
kelompok . , , .
Karena itu .
c.
Dikelompokkan menjadi .
Tiap kelompok diubah menjadi , , , .
Karena itu .
d.
Dikelompokkan menjadi .
Tiap kelompok diubah menjadi , , , , .
Karena itu .
Dengan melihat pola pada Contoh
7, dapat dikatakan bahwa; untuk
mengubah bilangan basis dua ke basis
enambelas secara langsung, kelompokkan
bilangan dalam basis dua, empat angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke
dalam basis enambelas dan urutkan hasilnya.
b. Mengubah
Bilangan Basis Enambelas ke Basis Dua Secara Langsung
Contoh 8 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis dua!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis enambelas
ke dalam basis dua dengan empat angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis
dua secara berurutan.
a.
, , , .
Karena itu
b.
, , , , .
Karena itu .
c.
, , , , .
Karena itu .
d.
, , , , .
Karena itu
4. Basis Tiga dan Basis Sembilan
Bagian
ini adalah bagian untuk memperlihatkan bahwa ada basis tertentu yang dapat
diubah secara langsung ke dalam basis tertentu yang lain. Bilangan-bilangan
yang dapat diubah secara langsung hanya bila basis-nya memiliki
hubungan perpangkatan. Perhatikan bahwa basis 2 , basis 4 , basis 8 , basis 16 , basis 3 , dan basis 9 . Masing-masing memiliki hubungan perpangkatan, karena
itu dapat diubah secara langsung. Selain basis tersebut harus melalui perubahan
ke basis 10 terlebih dahulu kemudian diubah ke dalam basis yang diinginkan.
a. Mengubah
Bilangan Basis Tiga ke Basis Sembilan Secara Langsung
Basis tiga
hanya menggunakan angka-angka 0, 1, dan 2, sedang basis sembilan
menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Basis tiga dikelompokkan atas satuan
, tigaan, sembilanan, dan seterusnya. Basis sembilan dikelompokkan atas satuan, sembilanan, delapan-puluh-satuan, dan seterusnya.
Mengubah
bilangan basis tiga ke basis sembilan secara langsung dapat ‘meminjam’ cara
mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, kelompokkan
bilangan dalam basis tiga, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke
dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.
Contoh 9 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis sembilan!
a.
b.
Penyelesaian :
Tuliskan bilangan dengan kelompok dua angka
seperti ini . , , dan . Karena itu .
Kelompokkan
dua angka menjadi . , , , . Karena itu .
b. Mengubah
Bilangan Basis Sembilan ke Basis Tiga Secara Langsung
Mengubah bilangan basis sembilan
ke basis tiga secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan
basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya tuliskan tiap angka dalam basis sembilan ke
dalam basis tiga dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis tiga
secara berurutan.
Contoh 10 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis tiga!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a.
. , , . Karena itu
b.
. , , , , . Karena itu
c.
, , , , , , , . Karena itu . (Ada angka 0 yang tidak memiliki nilai).
d.
, , , , , , , , . Karena itu .
5.
Basis
Empat dan Basis Enambelas
a. Mengubah
Bilangan Basis Empat ke Dalam Basis Enambelas Secara Langsung
Mengubah bilangan basis empat ke
basis enambelas secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan
basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, kelompokkan
bilangan dalam basis empat, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam
basis enambelas dan urutkan hasilnya.
Contoh 11 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis 16!
a.
1014 b.
2104
c.
3314 d.
3334
Penyelesaian :
Kelompokkan bilangan-bilangan
tersebut dua angka dimulai dari satuan sehingga :
b.
1014
= ....16? Ditulis dulu . , . Karena itu .
c.
, . Karena itu .
d.
, . Karena itu . Karena itu .
e.
, . Karena itu .
b. Mengubah
Bilangan Basis Enambelas ke Dalam Basis Empat Secara Langsung
Mengubah bilangan basis enambelas
ke basis empat secara langsung dapat ‘meminjam’ cara mengubah bilangan
basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya tuliskan tiap angka dalam basis eambelas ke
dalam basis empat dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis
empat secara berurutan.
Contoh 12 : Ubahlah bilangan-bilangan
berikut ke dalam basis empat!
a.
b.
c.
d.
Penyelesaian :
a.
, , . Karena itu
b.
, , , . Karena itu
c.
, , , . Karena itu .
d.
, , , , , . Karena itu
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 2010. Pranata mangsa kanggo nyrateni lakune alam. Solopos daring. Edisi Suplemen 25-02-2010.
Diakses 17-10-2015.
Daldjoeni, N. 1984.
Pranatamangsa, the javanese agricultural calendar – Its bioclimatological and
sociocultural function in developing rural life. The Environmentalist 4:15–18. DOI:10.1007/BF01907286
Hubungan pranata
mangsa dengan musim penangkapan ikan. Artikel pada laman Dinas Perikanan dan
Kelautan Provinsi DI Yogyakarta.
King, D.A. 1990. A
Survey of Medieval Islamic Shadow Schemes for Simple Time-Reckoning. Oriens
32:191-249.
Kusuma, M. 2009. Berlayar dengan Panduan Pranata Mangsa. Kompas daring. Edisi 20-01-2009. Diakses 17-10-2015.
Tanojo, R. 1962. Primbon
Djawa (Sabda Pandita Ratu). TB Pelajar. Surakarta. pp 36–45.
Terima kasih atas kajian etnomatnya pak Dafid...Saya tertarik mempelajarinya terutama untuk terapan di mat SD.
BalasHapus